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(滿分14分)已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù),,其中．

設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．

（1）用表示；

（2）試證明不等式：（）．

 

【答案】

(1) ．

 (2)見(jiàn)解析.

【解析】設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同．所以，，據(jù)此可建立關(guān)于a,b的關(guān)系式.

（2）構(gòu)造函數(shù)，

然后研究的最小值，證明最小值大于或等于零即可.

解：(1)設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同．……1分

，，由題意，．……3分

即由得：，或（舍去）．……5分

即有．……7分

(2)設(shè)，……8分

則．……10分

故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，……12分

于是函數(shù)在上的最小值是．……13分

故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，．……14分

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（本小題滿分14分）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)F（2，0），且與直線相切。（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；（2）若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F的動(dòng)直線與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為.①求證：為定值；②試用表示線段AB的長(zhǎng)度；③求線段AB長(zhǎng)度的最小值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年廣東省云浮市高三第五次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）為橢圓的左右頂點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，直線分別交直線于兩點(diǎn).

證明：當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒為定值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年廣東省高三第四次月考理科數(shù)學(xué)試題（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上. 且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

（1）求拋物線的方程；

（2）若動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年福建省泉州四校高三第二次聯(lián)考考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知橢圓的方程為：，其焦點(diǎn)在軸上，離心率.

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足，其中M，N是橢圓上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為，求證：為定值.

（3）在（2）的條件下，問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年廣東省高考沖刺強(qiáng)化訓(xùn)練試卷六文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知橢圓與射線y＝（x交于點(diǎn)A，過(guò)A作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，

它們與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)B和點(diǎn)C．

（Ⅰ）求證：直線BC的斜率為定值，并求這個(gè)定值；

（Ⅱ）求三角形ABC的面積最大值．

 

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