Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax³-bx+2（a＞0）
（1）在x=1時(shí)有極值0，試求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求f（x）在x=2處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得f（1）=0，且f′（1）=0，得到a，b的方程，解方程可得a，b的值，進(jìn)而得到f（x）的解析式；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到所求切線的方程．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax³-bx+2的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3ax²-b，
在x=1時(shí)有極值0，可得f（1）=0，且f′（1）=0，
即為a-b+2=0，且3a-b=0，
解得a=1，b=3，
可得f（x）=x³-3x+2；
（2）f′（x）=3ax²-b，
可得f（x）在x=2處的切線斜率為12a-b，
切點(diǎn)為（2，8a-2b+2），
即有f（x）在x=2處的切線方程為y-（8a-2b+2）=（12a-b）（x-2），
化為（12a-b）x-y-16a+2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和極值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)和運(yùn)用直線方程是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．