Question

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-

1

2

ax2-bx．
（1）若x=1是f（x）的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．
（2）當(dāng)a=0，b=-1時，函數(shù)F（x）=f（x）-λx²有唯一零點(diǎn)，求正數(shù)λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=

1

x

-ax-b，由f'（1）=0，得b=1-a．所以f′(x)=

1

x

-ax+a-1=

-(ax+1)(x-1)

x

，由此能求出a的取值范圍．
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)F（x）=f（x）-λx²有唯一零點(diǎn)，即λx²-lnx-x=0有唯一實(shí)數(shù)解，設(shè)g（x）=λx²-lnx-x，則g′(x)=

2λx2-x-1

x

．令g'（x）=0，2λx²-x-1=0．由此進(jìn)行分類討論，能求出λ．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=

1

x

-ax-b，由f'（1）=0，得b=1-a．
∴f′(x)=

1

x

-ax+a-1=

-(ax+1)(x-1)

x

．…（2分）
①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．
當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＞0，此時f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時，f'（x）＜0，此時f（x）單調(diào)遞減．
所以x=1是f（x）的極大值點(diǎn)．…（4分）
②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=-

1

a

．
因?yàn)閤=1是f（x）的極大值點(diǎn)，所以-

1

a

＞1，解得-1＜a＜0．
綜合①②：a的取值范圍是a＞-1．…（6分）
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)F（x）=f（x）-λx²有唯一零點(diǎn)，
即λx²-lnx-x=0有唯一實(shí)數(shù)解，
設(shè)g（x）=λx²-lnx-x，
則g′(x)=

2λx2-x-1

x

．令g'（x）=0，2λx²-x-1=0．
因?yàn)棣耍?，所以△=1+8λ＞0，
方程有兩異號根設(shè)為x₁＜0，x₂＞0．
因?yàn)閤＞0，所以x₁應(yīng)舍去．
當(dāng)x∈（0，x₂）時，g'（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）單調(diào)遞增．
當(dāng)x=x₂時，g'（x₂）=0，g（x）取最小值g（x₂）．…（9分）
因?yàn)間（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0，
則

g(x2)=0 g′(x2)=0

即

λ x 2 2 -lnx2-x2=0 2λ x 2 2 -x2-1=0.

因?yàn)棣耍?，所以2lnx₂+x₂-1=0（*）
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，因?yàn)楫?dāng)x＞0時，
h（x）是增函數(shù)，所以h（x）=0至多有一解．
因?yàn)閔（1）=0，所以方程（*）的解為x₂=1，
代入方程組解得λ=1．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、零點(diǎn)等知識點(diǎn)的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．