Question

10．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d=2，其前項和為S_n，且等比數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b₂=a₄，b₃=a₁₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式和數(shù)列{b_n}的前項和B_n；
（Ⅱ）記數(shù)列$\{\frac{1}{S_n}\}$的前項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：a_n=a₁+2（n-1），$_{2}^{2}$=b₁b₃，$（{a}_{1}+6）^{2}$=a₁（a₁+24），解得a₁，可得a_n．設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，則q=$\frac{_{2}}{_{1}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$．可得數(shù)列{b_n}的前項和B_n．
（Ⅱ）由（I）可得：S_n=n²+2n．因此$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（I）由題意可得：a_n=a₁+2（n-1），$_{2}^{2}$=b₁b₃，$（{a}_{1}+6）^{2}$=a₁（a₁+24），解得a₁=3．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，則q=$\frac{_{2}}{_{1}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$=$\frac{9}{3}$=3．
∴數(shù)列{b_n}的前項和B_n=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$=$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$．
（Ⅱ）由（I）可得：S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴數(shù)列$\{\frac{1}{S_n}\}$的前項和為T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．