Question

4．已知橢圓在x軸兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|=10，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F₁PF₂=$\frac{2π}{3}$，△F₁PF₂的面積為6$\sqrt{3}$，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

Answer 1

分析 由題意可得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，然后利用面積公式結(jié)合余弦定理求出2a，再結(jié)合隱含條件求出b，則橢圓方程可求．

解答 解：由題意，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
則$\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|•sin∠{F}_{1}P{F}_{2}=6\sqrt{3}$，
且$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|cos∠{F}_{1}P{F}_{2}=|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$，
∴|PF₁|•|PF₂|=24，
∴$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=76$，
則$|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=2\sqrt{31}$，即$a=\sqrt{31}$．
又∵c=5，∴b=$\sqrt{6}$，
∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{31}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，常采用橢圓定義及余弦定理解決，是中檔題．