Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P是雙曲線C上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若直線PA、PB的斜率之積為

1

2

．
（Ⅰ）求雙曲線C的離心率e；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)P作斜率為k（k≠±

b

a

）的直線l，使得l與雙曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，記直線PF₁，PF₂的斜率分別為k₁，k₂，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)λ使得

1

k1

+

1

k2

=λk．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,存在型,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)P（m，n），由斜率公式，得到

n

m+a

•

n

m-a

=

1

2

，化簡(jiǎn)得m²-2n²=a²，又

m2

a2

-

n2

b2

=1，即b²=

1

2

a²，由a，b，c的關(guān)系及離心率公式，即可求出；
（2）首先判斷P為切點(diǎn)，根據(jù)雙曲線上一點(diǎn)的切線方程，即可得到直線l的方程為

mx

a2

-

ny

b2

=1，求出斜率k=

m

2n

，再由斜率公式，求出

1

k1

+

1

k2

=

2m

n

，從而得到存在λ=4，使得

1

k1

+

1

k2

=4k．

解答： 解：（1）設(shè)P（m，n），又A（-a，0），B（a，0），
則k_PA=

n

m+a

，k_PB=

n

m-a

，
∵k_PA•k_PB=

1

2

，∴

n

m+a

•

n

m-a

=

1

2

，
即m²-2n²=a²，又

m2

a2

-

n2

b2

=1，
∴b²=

1

2

a²，即c²-a²=

1

2

a²，e²=

3

2

，
即e=

6

2

；
（2）∵l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且l的斜率k（k≠±

b

a

）即l不平行于漸近線，
∴P為切點(diǎn)，
∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上一點(diǎn)M（x₀，y₀）的切線方程為

x0x

a2

-

y0y

b2

=1
∴直線l的方程為

mx

a2

-

ny

b2

=1即mx-2ny=2b²即k=

m

2n

，
又

1

k1

=

m+c

n

，

1

k2

=

m-c

n-0

，
∴

1

k1

+

1

k2

=

2m

n

故存在λ=4，使得

1

k1

+

1

k2

=4k．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的方程和幾何性質(zhì)，重點(diǎn)考查離心率的求法，同時(shí)考查直線與雙曲線的位置關(guān)系：相切，以及存在性問(wèn)題的求法，是一道中檔題．