Question

（2006•海淀區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n，n為奇數(shù) an-2n，n為偶數(shù)

，
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）當(dāng)n≥2時(shí)，求a_2n-2與a_2n的關(guān)系式，并求數(shù)列{a_n}中偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求數(shù)列{a_n}前100項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)的和．

Answer 1

分析：（I）由數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n，n為奇數(shù) an-2n，n為偶數(shù)

，分別令n=2，3代入解出函數(shù)值即可；
（Ⅱ）根據(jù)條件先求出a_2n-2與a_2n的關(guān)系式，從而得到{a_2n-2}是以-

1

2

為首項(xiàng)，公比為

1

2

的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)；
（Ⅲ）當(dāng)n=2k時(shí)，a_2k+1=a_2k-2×2k，然后利用疊加法可得所有奇數(shù)項(xiàng)的和．

解答：解：（I）∵a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n，n為奇數(shù) an-2n，n為偶數(shù)

，
∴令n=2得a2=

3

2

，令n=3得a3=-

5

2

（II）a_2n-2+1=a_2n-2-2（2n-2）即
a_2n-1=a_2n-2-2（2n-2）
a_2n-1-1=

1

2

a_2n-1+（2n-1）即a_2n=

1

2

a_2n-2-（2n-2）+（2n-1）
∴a_2n=

1

2

a_2n-2+1
∴a_2n-2=

1

2

（a_2n-2-2）
∴{a_2n-2}是以-

1

2

為首項(xiàng)，公比為

1

2

的等比數(shù)列
∴a_2n=-(

1

2

)n+2
（Ⅲ）∵當(dāng)n=2k時(shí)，a_2k+1=a_2k-2×2k（k=1，2，3，…，49）
∴疊加可得所有奇數(shù)項(xiàng)的和：1-2（2+4+…+98）+a₂+a₄+…+a₉₈=(

1

2

)49-4802

點(diǎn)評(píng)：此題考查了由數(shù)列的遞推關(guān)系求前5項(xiàng)的數(shù)值，等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，分組求和及等比數(shù)列的求和公式，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．