Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD^底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)．

（1）證明PA∥平面EDB；（2）求EB與底面ABCD所成的角的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

本題考查直線與平面平行、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想像能力和推理論證能力， 方法一： （1）證明：連結(jié)AC，AC交BD于O．連結(jié)EO ∵ 底面ABCD是正方形，∴ 點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)． 在DPAC中，EO是中位線．∴ PA∥EO 而EOÌ平面EDB且PAË平面EDB，所以，PA∥平面EDB． （2）解：作EF^DC交CD于F，連結(jié)BF，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a． ∵ PD^底面ABCD ∴ PD^DC ∴ EF∥PD   F為DC的中點(diǎn) ∴ EF^底面ABCD，BF為BE在底面ABCD內(nèi)的射影，故ÐEBF為直線EB與底面ABCD所成的角． 在RtDBCF中， ∵   ∴ 在RtDEFB中， 所以EB與底面ABCD所成的角的正切值為． 方法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)DC=a （1）證明：連結(jié)AC，AC交BD于G．連結(jié)EG．依題意得A(a，0，0)，P(0，0，a)，E() ∵ 底面ABCD是正方形∴ G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為() ∴ 這表明，PA∥EG 而EGÌ平面EDB且PAË平面EDB  ∴ PA∥平面EDB （2）解：依題意得B(a，a，0)，C(0，a，0)取DC的中點(diǎn)F()，連結(jié)EF，BF ∵ ∴  ∴ FE^FB，FE^DC ∴ FE^底面ABCD，BF為BE在底面ABCD內(nèi)的射影，故ÐEBF為直線EB與底面ABCD所成的角． 在RtDEFB中， ∴ 所以，EB與底面ABCD所成的角的正切值為．