Question

若a＞2，則函數f（x）=x³-3ax+3在區(qū)間（0，2）上零點的個數為（ ）
A．0個
B．1個
C．2個
D．3個

Answer 1

【答案】分析：根據a＞2，分析導函數的符號，確定函數的單調性，驗證f（0），f（2）的符號，結合圖象可知函數f（x）=x³-3ax+3 在（0，2）上的零點個數．
解答：解：∵函數f（x）=x³-3ax+3
∴f′（x）=3x²-3a=3（x²-a）=3（x+）（x-），
∵a＞2，
令f′（x）＞0得x＞，得函數f（x）在（，+∞）上是增函數，
令f′（x）＜0可得0＜x＜，得函數f（x）在（0，）上是減函數，
而f（0）=3＞0，f（）=（）³-3a+3=3-2a＜0，
∴函數f（x）=x³-3ax+3在（0，）上零點有一個．
又f（2）=2³-3a×2+3=11-6a＜0，
∴函數f（x）=x³-3ax+3在（，2）上沒有零點．
則函數f（x）=x³-3ax+3在區(qū)間（0，2）上零點的個數為1，
故選B．
點評：此題是基礎題．考查函數零點的判定定理，以及利用導數研究函數的單調性，考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力．