Question

已知數(shù)列{a_n}是首項為a且公比q≠1的等比數(shù)列，S_n是其前n的和，a₁，2a₇，3a₄成等差數(shù)列．
（1）求q³的值；
（2）證明：12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意a₁，2a₇，3a₄成等差數(shù)列可得4a₇=a₁+3a₄，由于問題中兩個問題都只和公比的三次方有關(guān)，故從此等式中解出公比的三次方即可；
（2）證明三數(shù)成等比數(shù)列，需要先求出前n項和公式，然后將公式代入由等比關(guān)系轉(zhuǎn)化成的方程進(jìn)行驗(yàn)證證明即可．
解答：解：（1）∵a₁，2a₇，3a₄成等差數(shù)列，
∴4a₇=a₁+3a₄，又?jǐn)?shù)列{a_n}是首項為a且公比q≠1的等比數(shù)列，
∴4aq⁶=a+3aq³，
整理得：4（q³）²-3q³-1=0，即（4q³+1）（q³-1）=0，
解得：q³=-或q³=1（舍去），
則q³=-；
（2）∵q³=-，
∴，
而
=，
∴S₆²=12S₃•（S₁₂-S₆），
則12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比數(shù)列．
點(diǎn)評：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式，以及等比關(guān)系的確定，熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關(guān)鍵．