Question

已知函數(shù)f（x）=

ex

x

-a（x²-2x-3），其中a為參數(shù)，且a∈R．
（Ⅰ）若a=-1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對于任意的x∈（0，4]，都有f（x）≥0恒成立，求參數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求導，再根據(jù)導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關系即可求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）f（x）≥0恒成立，分離參數(shù)，得到當0＜x＜3時，a≥

ex

x3-2x2-3x

恒成立，當3＜x≤4時，a≤

ex

x3-2x2-3x

恒成立，構造函數(shù)g（x）=

ex

x3-2x2-3x

，分別求粗函數(shù)的最值，問題得以解決．

解答： 解（Ⅰ）當a=-1時，f（x）=

ex

x

+（x²-2x-3），
∴f′（x）=

ex(x-1)

x2

+2x-2=（x-1）（

ex

x2

+2），
令f′（x）=0，解得x=1，
當f′（x）＞0時，即x＞1時，函數(shù)遞增，
當f′（x）＜0時，即x＜1時，函數(shù)遞減，
故函數(shù)f（x）在（-∞，1）上遞減，在（1，+∞）遞增；
（Ⅱ）∵f（x）≥0在∈（0，4]恒成立，
∴

ex

x

≥a（x²-2x-3）=a（x+1）（x-3），
當0＜x＜3時，a≥

ex

x3-2x2-3x

恒成立，當3＜x≤4時，a≤

ex

x3-2x2-3x

恒成立，
令g（x）=

ex

x3-2x2-3x

，
∴g′（x）=

ex(x-1)(x-2+ 7 )(x-2- 7 )

(x3-2x2-3x)2

，
令g′（x）=0，解得x=1，x=2-

7

＜0，（舍去），2+

7

＞4，（舍去）
∴g（x）在（0，1）遞增，在（1，4）上遞減，
∴當0＜x＜3時，g（x）_max=g（1）=-

e

4

，
當3＜x≤4時g（x）_min=g（4）=

e4

20

，
∴-

e

4

≤a≤

e4

20

，
故參數(shù)a的取值范圍為[-

e

4

，

e4

20

]．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，考查導數(shù)的應用，求參數(shù)的范圍，是一道中檔題．