Question

設(shè)橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，M為橢圓上任一點(diǎn)，P為△F₁MF₂的內(nèi)心，連接MP并延長交橢圓長軸于N，則

S△F1PM

S△F1PN

的值為（　�。�

• A．

  3

  4

• B．

  4

  3

• C．

  3

  5

• D．

  5

  3

Answer 1

分析：由于三角形的內(nèi)心是三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理把所求的比值轉(zhuǎn)化為三角形邊長之間的比值關(guān)系來求解．

解答：解：如圖，連接PF₁，PF₂．在△MF₁P中，F(xiàn)₁P是∠MF₁N的角平分線，
根據(jù)三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，

|MP|

|PN|

=

|MF1|

|F1N|

，
同理可得

|MP|

|PN|

=

|MF2|

|F2N|

則有

|MP|

|PN|

=

|MF1|

|F1N|

=

|MF2|

|F2N|

，
根據(jù)等比定理

|MP|

|PN|

=

|MF1|+|MF2|

|F1N|+|F2N|

=

2a

2 a2-b2

=

a

a2-b2

=

5

3

設(shè)F₁到MN的距離為d
則

S△F1PM

S△F1PN

=

1 2  d •|PM|

1 2 d•|PN|

=

|PM|

|PN|

=

5

3

故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓錐曲線的定義的應(yīng)用，試題在平面幾何中的三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理、等比定理和圓錐曲線的定義之間的綜合應(yīng)用，在解決涉及到圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的關(guān)系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口．