Question

已知a>0，b>0，且a+b=1，求證：(a+)(b+)≤。

Answer 1

答案：
解析：

證法一：(分析綜合法) 欲證原不等式成立，只須證明 4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0 4(ab)2－33ab+8≥0 ab≤或ab≥8 ∵a>0，b>0，a+b=1 ∴ab≥8不可能成立 ∵1=a+b≥2 ∴ab≤，從而得證。 證法二：(均值代換法) 設(shè)a=+t，b=－t(－<t<)，則 左式= 顯然等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)t=0，即a=b=時(shí)成立。 證法三：(三角代換法) 設(shè)a=sin2θ，b=cos2θ，θ∈(0，)， 則左式=(sin2θ+)(cos2θ+) ∵sin22θ≤1 ∴4－sin22θ≥4－1=3 ∴(4－sin22θ)2+16≥25， 又 ∴。