Question

已知數列{a_n}是首項為1的等差數列，且a_n+1＞a_n（n∈N^*），若a₂，a₄+2，3a₅成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a₂，a₄+2，3a₅成等比數列，∴（a₄+2）²=3a₂a₅，
∵數列{a_n}是首項為1的等差數列，∴a_n=1+（n-1）d，
∴3（d+1）²=（1+d）（1+4d）
∴d=2或d=-1，
又a_n+1＞a_n（n∈N^*），∴d＞0，∴d=2
∴a_n=2n-1
（Ⅱ）b_n==
∴S_n=[（1-）+（）+…+]==．
分析：（Ⅰ）利用數列{a_n}是首項為1的等差數列，且a_n+1＞a_n（n∈N^*），a₂，a₄+2，3a₅成等比數列，求出數列的公差，從而可得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用裂項法可求數列{b_n}的前n項和S_n．
點評：本題考查數列的通項與求和，正確運用數列的求和方法是關鍵．