Question

18．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且f（1）=2．
（1）求m；
（2）函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明理由．
（3）求f（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由代入法，計(jì)算即可得到m=1；
（2）函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形和定符號(hào)和下結(jié)論幾個(gè)步驟；
（3）由（2）的結(jié)論，計(jì)算即可得到最小值．

解答 解：（1）f（1）=1+m=2，
解得m=1；
（2）函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
由f（x）=x+$\frac{1}{x}$，設(shè)1≤x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）
=x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
由1≤x₁＜x₂，可得x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，即有f（x₁）-f（x₂）＜0，
則函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）由f（x）在[1，+∞）上遞增，
可得f（1）為最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．