Question

【題目】已知拋物線(xiàn)：，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)，且當(dāng)直線(xiàn)傾斜角為時(shí)，與拋物線(xiàn)相交所得弦的長(zhǎng)度為8.

（1）求拋物線(xiàn)的方程；

（2）若分別過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，，兩條切線(xiàn)相交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，判斷四邊形是否存在外接圓，如果存在，求出外接圓面積的最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；最小面積為

【解析】

（1）根據(jù)題意求出直線(xiàn)傾斜角為時(shí)的方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系和焦半徑公式，求出弦長(zhǎng)，即可求出；

（2）點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，可得，從而有，判斷四邊形是否存在外接圓，只需判斷是否有，即是否垂直，根據(jù)切線(xiàn)的幾何意義，求出的斜率，即可得出結(jié)論，如果存在外接圓，外接圓的直徑為，要使外接圓面積最小，即求最小，利用根與系數(shù)關(guān)系和相交弦長(zhǎng)公式，即可求解.

（1）由題意知，設(shè)點(diǎn)，，

當(dāng)直線(xiàn)傾斜角為時(shí)，直線(xiàn)的方程為，

由得：，

所以.又由，所以，

所以?huà)佄锞�(xiàn)的方程為.

（2）四邊形存在外接圓.

設(shè)直線(xiàn)方程為，

代入中，得，則，

且，，

所以，

因?yàn)?/span>：，即，所以.

因此，切線(xiàn)的斜率為，切線(xiàn)的斜率為，

由于，所以，即是直角三角形，

所以的外接圓的圓心為線(xiàn)段的中點(diǎn)，線(xiàn)段是圓的直徑，

所以點(diǎn)一定在的外接圓上，即四邊形存在外接圓.

又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段最短，最短長(zhǎng)度為4，

此時(shí)圓的面積最小，最小面積為.