Question

11．已知tanA，tanB是方程mx²-2$\sqrt{7m-3}$x+2m=0的兩個實數(shù)根，求：tan（A+B）的最值及取得最值時的實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 由△≥0求得m的范圍，再利用韋達(dá)定理、兩角和的正切公式求得tan（A+B）的解析式，從而求得tan（A+B）的最值及取得最值時的實數(shù)m的值．

解答 解：由tanA，tanB是方程mx²-2$\sqrt{7m-3}$x+2m=0的兩個實數(shù)根，
可得m≠0，且△=4（7m-3）-8m²≥0，
求得$\frac{1}{2}$≤m≤3．
 再利用韋達(dá)定理可得 tanA+tanB=2$\sqrt{7m-3}$，tanA•tanB=2，
∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}$=$\frac{2\sqrt{7m-3}}{1-2}$=-2$\sqrt{7m-3}$，
故當(dāng)m=3時，tan（A+B）取得最小值為-6$\sqrt{2}$；
當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時，tan（A+B）取得最大值為-$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．