Question

6．若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，且P（2，2）為雙曲線上的點，則該雙曲線的方程為（　�。�

• A． x²-$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1
• C． x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 求出雙曲線的焦點和漸近線方程，由點到直線的距離公式可得b=2a，將P的坐標代入雙曲線方程，解方程組可得a，b，進而得到所求雙曲線的方程．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦點（c，0）到其漸近線y=$\frac{a}$x的距離
為d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b，
由題意可得b=2a，①
P（2，2）為雙曲線上的點，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{^{2}}$=1，②
由①②可得a=$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{3}$，
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用漸近線方程和待定系數(shù)法，考查方程思想和點到直線的距離公式，以及運算能力，屬于中檔題．