Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4．
（Ⅰ）M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM||OP|=16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2， ），點(diǎn)B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）曲線C1的直角坐標(biāo)方程為：x=4，
設(shè)P（x，y），M（4，y0），則 ，∴y0= ，
∵|OM||OP|=16，
∴ =16，
即（x2+y2）（1+ ）=16，
整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），
∴點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．
（Ⅱ）點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為A（1， ），顯然點(diǎn)A在曲線C2上，|OA|=2，
∴曲線C2的圓心（2，0）到弦OA的距離d= = ，
∴△AOB的最大面積S= |OA|（2+ ）=2+ ．
【解析】（Ⅰ）設(shè)P（x，y），利用相似得出M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)|OM||OP|=16列方程化簡(jiǎn)即可；
（Ⅱ）求出曲線C2的圓心和半徑，得出B到OA的最大距離，即可得出最大面積．