Question

橢圓

x2

9

+

y2

4

=1中，被點P（2，1）平分的弦所在直線方程是

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：若過點P的弦垂直于x軸，顯然P不會是弦中點，所以可設直線斜率為k，可寫出直線方程為y=kx-2k+1，帶入橢圓方程可得到關于x的一元二次方程．若設該方程兩根為x₁，x₂，根據韋達定理可求得

x1+x2

2

=2，這樣即可得到關于k的方程，解方程即得k值，從而得出直線方程．

解答： 解：容易判斷該弦所在直線存在斜率，設為k，則直線方程為：y=kx-2k+1；
帶入橢圓方程并整理得：
（4+9k²）x²+18k（1-2k）+9（1-2k）²-36=0；
根據點P是弦的中點及韋達定理得：

18k(1-2k)

-2(4+9k2)

=2，解得k=-

8

9

；
∴所求直線方程為：y=-

8

9

x+

25

9

．
故答案為：y=-

8

9

x+

25

9

．

點評：考查直線的點斜式方程，橢圓的標準方程，橢圓的對稱性，以及韋達定理及中點坐標公式．