Question

設(shè)不等式表示的平面區(qū)域為D．區(qū)域D內(nèi)的動點P到直線和直線的距離之積為2．記點P的軌跡為曲線C，過點F(2，0)的直線與曲線C交于A、B兩點．若以線段AB為直徑的圓與軸相切，求直線的斜率．

Answer 1

解：由題意可知，平面區(qū)域D如圖陰影所示．

       設(shè)動點為P()，則，

       即=4，

       由PD知>0，<0，即<0．

       所以，

       即曲線C的方程為．

設(shè)A()，B()，則以線段AB為直徑的圓的圓心為Q()．

因為以線段AB為直徑的圓與y軸相切，所以半徑，

即．    ①

       因為直線AB過點F(2，0)，

       當(dāng)AB⊥軸時，不合題意．

       所以設(shè)直線AB的方程為．

       代入雙曲線方程得，

，即．

       因為直線與雙曲線交于A，B兩點，所以≠±1．

       所以．

       所以

           =

           =

           =，

       化簡得：，

       解得不合題意，舍去)．

       △=，

       所以

      所以．