Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C(0,p)作直線與拋物線x²=2py(p＞0)相交于A、B兩點(diǎn).

（1）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，求△ANB面積的最小值.

（2）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程;若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(0,-p)，可設(shè)A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂),

直線AB的方程為y=kx+p，與x²=2py聯(lián)立得

消去y得x²-2pkx-2p²=0.

由韋達(dá)定理得x₁+x₂=2pk,x₁x₂=-2p².

于是S_△ABN=S_△BCN+S_△ACN=·2p|x₁-x₂|=p|x₁-x₂|

=p=p=2p²,

∴當(dāng)k=0時,(S_△ABN)_min=2p².

(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，

設(shè)AC的中點(diǎn)為O′，l與AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P，Q,PQ的中點(diǎn)為H，

則O′H⊥PQ,Q′點(diǎn)的坐標(biāo)為(,).

∵|O′P|=|AC|==,|O′H|=|a|=|2a-y₁-p|,

∴|PH|²=|O′P|²-|O′H|²=(y₁²+p²)(2a-y₁-p)²=(a)y₁+a(p-a).

∴|PQ|²=(2|PH|)²=4［(a)y₁+a(p-a)］.

令a=0,得a=,此時|PQ|=p為定值,故滿足條件的直線l存在,其方程為y=,即拋物線的通徑所在的直線.