Question

已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a,且不等式f(x)＞-2x的解集為(1,3).

(1)若方程f(x)+6a=0有兩個(gè)相等的根,求f(x)的解析式;

(2)若f(x)的最大值為正數(shù),求a的取值范圍.

Answer 1

解：(1)∵f(x)+2x＞0的解集為(1,3),

∴f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a＜0.

因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax²-(2+4a)x+3a.?                        ①

由方程f(x)+6a=0,得

ax²-(2+4a)x+9a=0.                                                             ②

∵方程②有兩個(gè)相等的根,

∴Δ=［-(2+4a)］²-4a·9a=0,

即5a²-4a-1=0.

解得a=1或a=-.

由于a＜0,舍去a=1.

將a=-代入①得f(x)的解析式f(x)=- x²-.

(2)由f(x)=ax²-2(1+2a)x+3a

=a(x-)²-

及a＜0,可得f(x)的最大值為-.

由

解得a＜-2-或-2+＜a＜0.

故當(dāng)f(x)的最大值為正數(shù)時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2-)∪(-2+,0).