Question

已知：△ABC的外接圓的切線AD交BC的延長線于D點，求證：

△ABC的面積

△ACD的面積

=

AB2

AC2

=

BD

CD

．

Answer 1

分析：由AD是△ABC的外接圓的切線得到角相等進而得兩個三角形相似，可得三角形的面積比與相似比的平方的關系，再結合三角形面積公式即可證得．

解答：證：因為AD是△ABC的外接圓的切線，
所以∠B=∠1∴△ABD∽△CAD
∴

△ABC的面積

△ACD的面積

=

AB2

AC2

作AE⊥BD于點E，
則

△ABC的面積

△ACD的面積

=

1 2 BD•AE

1 2 CD•AE

=

BD

CD

.
故得證．

點評：本題主要考查相似三角形的判定，在圓中找相等的角，依據(jù)是弦切角和同弧所對的圓周角相等相等，再根據(jù)相似三角形的判定即可得到．