Question

19．如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD為菱形，E為側(cè)棱PC上一點(diǎn)．
（1）若BE⊥PC，求證：平面BDE⊥平面PBC；
（2）若PA∥平面BDE，求證：E是PC的中點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）連接AC，推導(dǎo)出AC⊥BD，PA⊥BD，從而BD⊥PC，由此能證明平面BDE⊥平面PBC．
（2）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，推導(dǎo)出AO=OC，PA∥OE，由此能證明E是PC的中點(diǎn)．

解答 證明：（1）連接AC，因?yàn)锳BCD為菱形，所以AC⊥BD…（1分）
因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥BD…（2分）
因?yàn)镻A∩AC=A，所以BD⊥平面PAC…（4分），BD⊥PC…（5分）
因?yàn)锽E⊥PC，BD∩BE=B，所以PC⊥平面BDE…（6分）
因?yàn)镻C?平面PBC，所以平面BDE⊥平面PBC…（8分）
（2）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，因?yàn)锳BCD為菱形，所以AO=OC…（9分）
因?yàn)镻A∥平面BDF，平面PAC∩平面BDE=OE，所以PA∥OE…（11分）
所以PE=EC，E是PC的中點(diǎn)…（12分）

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明，考查線段中點(diǎn)的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．