Question

已知f（n）=（2n+7）·3ⁿ+9，是否存在自然數(shù)m，使對(duì)任意n∈N^*，都有m整除f（n），如果存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：由f（1）=36，f（2）=108，f（3）=360，f（4）=1224，猜想f（n）被36整除.

證明：（1）n=1時(shí)，猜想顯然成立.

（2）設(shè)n=k時(shí)，f（k）能被36整除，即（2k+7）·3^k+9能被36整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，

f（k+1）=［2（k+1）+7］·3^k+1+9=3［（2k+7）·3^k+9］+18（3^k－1－1）.

由假設(shè)3［2（k+7）·3^k+9］能被36整除，而3^k－1－1是偶數(shù)，

所以18（3^k－1－1）能被36整除，從而f（k+1）能被36整除.

綜上所述，n∈N時(shí)，f（n）能被36整除.

由于f（1）=36，故36是整除f（n）的自然數(shù)中的最大數(shù).