Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₃=12，S₁₀＞0，S₁₃＜0．
（1）求公差d的取值范圍；
（2）若公差d∈Z，S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，Tn=12n+

75

n

，求證：對(duì)任意n∈N^*，S_n＜T_n．

Answer 1

（1）∵等差數(shù)列{a_n}中，a₃=12，S₁₀＞0，S₁₃＜0，
∴

a1+2d=12 10a1+ 10×9 2 d＞0 13a1+ 13×12 2 d＜0

，
解得-

24

5

＜d＜-3，
∴公差d的取值范圍是（-

24

5

，-3）．
（2）∵-

24

5

＜d＜-3，d∈Z，
∴d=-4，
∵a₁+2d=12，
∴a₁=20，
∴S_n=20n+

n(n-1)

2

×(-4)=-2n²+22n=-2（n-

11

2

）²+

121

2

，
∴n=5或n=6時(shí)，
（S_n）_max=60，
又Tn=12n+

75

n

≥2

12n• 75 n

=60，
即（T_n）_min＞60，
∴S_n＜T_n．