Question

2．已知函數(shù)的定義域是x≠0的一切實(shí)數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求f（1）、f（8）的值；
（2）求證：f（x）是偶函數(shù)；
（3）證明：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）令x₁=x₂=1，得到f（1）=0，令x₁=x₂=2，得到f（4）=2，令x₁=4，x₂=2，得到f（8）=3，
（2）再令x₁=x₂=-1，得f（-1）=0．然后用主條件證明f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x）得證．
（3）先任取兩個(gè)變量，界定大小，再作差變形看符號(hào)

解答 解：（1）令x₁=x₂=1，得f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
令x₁=x₂=2，得f（4）=2f（2），
∴f（4）=2．
令x₁=4，x₂=2，得f（8）=f（4）+f（2），
∴f（8）=3．
證明：（2）令x₁=x₂=-1，得f（-1）=0．
∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x）．
∴f（x）是偶函數(shù)．
（3）設(shè)x₂＞x₁＞0，則
f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）-f（x₁）
=f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）．
∵x₂＞x₁＞0，
∴$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1．
∴f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0．
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查單調(diào)性和奇偶性的判斷與證明．嚴(yán)格落實(shí)定義是解答的關(guān)鍵．