Question

點P是橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上的動點，F(xiàn)₁為橢圓的左焦點，定點M（6，4），則PM+PF₁的最大值為

 

．

Answer 1

分析：如圖所示，由橢圓

x2

25

+

y2

16

=1可得：a²=25，b²=16，c=

a2-b2

．由|PM|+|PF₁|=2a+|PM|-|PF₂|≤2a+|MF₂|，當(dāng)且僅當(dāng)三點M、F₂、P共線時取等號．

解答：解：如圖所示，
由橢圓

x2

25

+

y2

16

=1可得：a²=25，b²=16．
∴a=5，b=4，c=

a2-b2

=3．
∴F₂（3，0），|MF2|=

(6-3)2+42

=5．
∴|PM|+|PF₁|=2a+|PM|-|PF₂|≤2×5+|MF₂|=15，
當(dāng)且僅當(dāng)三點M、F₂、P共線時取等號．
故答案為：15．

點評：本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、最大值問題的轉(zhuǎn)化為三角形的三邊關(guān)系，屬于難題．