Question

已知函數(shù)f（x）=|x|·（x﹣a）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值為m（a），求m（a）的表達(dá)式；
（3）若a=4，證明：方程f（x）+=0有兩個(gè)不同的正數(shù)解．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=|x|（x﹣a）．
∴a=0時(shí)，f（x）=|x|x是奇函數(shù)；
a≠0時(shí)，f（x）=|x|（x﹣a）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
（2）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=x²﹣ax=（x﹣ ）2﹣ ，
函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸為直線x= ．
當(dāng) ，即a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，
所以m（a）=f（0）=0；
當(dāng)0 ，即0≤a≤4時(shí)，函數(shù)f（x）在[0， ]上是減函數(shù)，在[ ，2]上是增函數(shù)，
所以m（a）=f（ ）=﹣ ；
當(dāng) ，即a＞4時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，
所以m（a）=f（2）=4﹣2a．
綜上，m（a）= ．
（3）證明：若a=4，則x＞0時(shí)，f（x）= ，
方程可化為 ，即 ．
令 ，h（x）=﹣x²+4x，
在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)g（x），h（x）在x＞0時(shí)的圖象．
因?yàn)間（2）=2，h（2）=4，
所以h（2）＞g（2），
即當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)h（x）圖象上的點(diǎn)在函數(shù)g（x）圖象點(diǎn)的上方．
所以函數(shù)g（x）與h（x）的圖象在第一象限有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
即方程f（x）+ =0有兩個(gè)不同的正數(shù)解．