Question

【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，定義：為橢圓的“特征三角形”，如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似三角形，那么稱這兩個(gè)橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比，已知點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且上任意一點(diǎn)到它的兩焦點(diǎn)的距離之和為4

（1）若橢圓與橢圓相似，且與的相似比為2：1，求橢圓的方程.

（2）已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，若點(diǎn)是直線與拋物線異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)一定在雙曲線上.

（3）已知直線，與橢圓相似且短半軸長為的橢圓為，是否存在正方形，（設(shè)其面積為），使得在直線上，在曲線上？若存在，求出函數(shù)的解析式及定義域；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）先計(jì)算橢圓：，根據(jù)相似比得到橢圓的方程.

（2）點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，則，設(shè)，計(jì)算

得到證明.

（3）根據(jù)題意：只需上存在兩點(diǎn)關(guān)于對稱即可，利用韋達(dá)定理計(jì)算，得到答案.

（1）根據(jù)題意知，橢圓：，，橢圓：

橢圓與橢圓相似，且與的相似比為2：1，則

橢圓的方程為：

（2）點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，則，

設(shè)

故

所以點(diǎn)一定在雙曲線上

（3）：根據(jù)題意：只需上存在兩點(diǎn)關(guān)于對稱即可

設(shè)，設(shè)的中點(diǎn)為

由韋達(dá)定理知：

在直線上，則故

此時(shí)正方形的邊長為

故