Question

17．如圖所示：邊長為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直，DE=$\sqrt{2}$，ED∥AF且∠DAF=90°．求證：
（1）EF∥平面BCD；
（2）DE⊥平面BCE．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明EF∥平面BCD．
（2）推導(dǎo)出DE⊥BC，DE⊥BE，由此能證明DE⊥平面BCE．

解答 證明：（1）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AD為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則E（1，1，2），F(xiàn)（2，2，0），B（2，0，0），
C（0，2，0），D（0，0，2），
$\overrightarrow{EF}$=（1，1，-2），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{DB}$=（2，0，-2），
設(shè)平面BDC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
∵EF?平面BCD，$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}$=1+1-2=0，
∴EF∥平面BCD．
（2）$\overrightarrow{DE}$=（1，1，0），$\overrightarrow{BC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{BE}$=（-1，1，2），
∵$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{BC}$=-2+2=0，$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{BE}$=-1+1=0，
∴DE⊥BC，DE⊥BE，
∵BC∩BE=B，∴DE⊥平面BCE．

點評 本題考查考查線面平行、線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、空間想象能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，是中檔題．