Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）．
（Ⅰ）當a≤

1

2

時，討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）設g（x）=x²-2bx+4．當a=

1

4

時，若對任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求實數(shù)b取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用函數(shù)與導數(shù)的關系，求出函數(shù)的導數(shù)，再討論函數(shù)的單調性；
（Ⅱ）利用導數(shù)求出f（x）的最小值、利用二次函數(shù)知識或分離常數(shù)法求出g（x）在閉區(qū)間[1，2]上的最大值，然后解不等式求參數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1(x＞0)，f′(x)=

l

x

-a+

a-1

x2

=

-ax2+x+a-1

x2

(x＞0)
令h（x）=ax²-x+1-a（x＞0）
（1）當a=0時，h（x）=-x+1（x＞0），
當x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減；
當x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增．
（2）當a≠0時，由f′（x）=0，即ax²-x+1-a=0，解得x1=1，x2=

1

a

-1．
當a=

1

2

時x₁=x₂，h（x）≥0恒成立，此時f′（x）≤0，函數(shù)f（x）單調遞減；
當0＜a＜

1

2

時，

1

a

-1＞1＞0，x∈（0，1）時h（x）＞0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減；
x∈(1，

1

a

-1)時，h（x）＜0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增；
x∈(

1

a

-1，+∞)時，h（x）＞0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減．
當a＜0時

1

a

-1＜0，當x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減；
當x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增．
綜上所述：當a≤0時，函數(shù)f（x）在（0，1）單調遞減，（1，+∞）單調遞增；
當a=

1

2

時x₁=x₂，h（x）≥0恒成立，此時f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調遞減；
當0＜a＜

1

2

時，函數(shù)f（x）在（0，1）單調遞減，(1，

1

a

-1)單調遞增，(

1

a

-1，+∞)單調遞減．

（Ⅱ）當a=

1

4

時，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，所以對任意x₁∈（0，2），
有f(x1)≥f(1)=-

1

2

，
又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），所以-

1

2

≥g(x2)，x₂∈[1，2]，（※）
又g（x）=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]
當b＜1時，g（x）_min=g（1）=5-2b＞0與（※）矛盾；
當b∈[1，2]時，g（x）_min=g（b）=4-b²≥0也與（※）矛盾；
當b＞2時，g(x)min=g(2)=8-4b≤-

1

2

，b≥

17

8

．
綜上，實數(shù)b的取值范圍是[

17

8

，+∞)．

點評：本題將導數(shù)、二次函數(shù)、不等式知識有機的結合在一起，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問題，考查了同學們分類討論的數(shù)學思想以及解不等式的能力；考查了學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力．