Question

已知圓C：（x-2）²+（y-4）²=4，直線l₁過原點O（0，0）．
（1）若l₁與圓C相切，求l₁的方程；
（2）若l₁與圓C相交于不同兩點P、Q，線段PQ的中點為M，又l₁與l₂：x+2y+1=0的交點為N，求證：OM•ON為定值；
（3）求問題（2）中線段MN長的取值范圍．

Answer 1

解：（1）分情況討論可得，①若直線l₁的斜率不存在，即直線是x=0，符合題意．（2分）
②若直線l₁斜率存在，設直線l₁為y=kx，即kx-y=0．
由題意知，圓心（2，4）到已知直線l₁的距離等于半徑2，
即：解之得． 所求直線方程是 x=0，或3x-4y=0．（5分）
（2）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設直線方程為kx-y=0，
由，得 ． 又直線CM與l₁垂直，
由，得 ．
∴=2為定值．（11分）
（3）由OM•ON=2，設OM=x，則，ON=，
故MN=OM-ON=在上單調遞增，所以，．（16分）
分析：（1）l₁的斜率不存在時，檢驗符合題意．當斜率存在時，設出斜截式方程，由圓心到直線的距離等于半徑求出
斜率，可得直線方程．
（2）點斜式設出直線l₁的方程，把l₁與l₂的方程聯立方程組求得交點N的坐標；把直線l₁的方程和CM的方程聯立
方程組可得M的坐標，化簡OM•ON的結果．
（3）設OM=x，則，利用MN=在上單調遞增，可求MN范圍．
點評：本題考查點到直線的距離公式的應用，求兩直線的交點的坐標的方法，以及利用函數的單調性求函數的最值，體現
了分類討論的數學思想．