Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的右頂點為A（1，0），過C的焦點且垂直長軸的弦長為．
（I）求橢圓C的方程；
（II）經(jīng)過定點F（0，1）的兩直線l₁，l₂與橢圓分別交于P、Q、M、N，且l₁⊥l₂，求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意，橢圓的焦點在y軸上，利用橢圓的右頂點為A（1，0），過C的焦點且垂直長軸的弦長為，建立方程組，從而可求橢圓的幾何量，即可求橢圓C的方程；
（II）分斜率組存在與存在分別討論，利用直線與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達定理及弦長公式，確定面積的表達式，即可求得結(jié)論．
解答：解：（I）由題意，橢圓的焦點在y軸上，，∴，∴橢圓方程為…（4分）
（2）（�。┤鬺₁與l₂中一條斜率不存在，另一條斜率為0，則…（5分）
（ⅱ）若l₁與l₂得斜率均存在，設(shè)l₁：y=kx+1與橢圓方程聯(lián)立
消去y可得（2+k²）x+2kx-1=0，則△=8（k²+1＞0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴
同理可得…（8分）
∴=
由，得…（10分）
由（ⅰ）（ⅱ）知，…（12分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，正確表示四邊形PMQN的面積是關(guān)鍵．