Question

15．已知：a_n=$\sqrt{1•2}$+$\sqrt{2•3}$+…+$\sqrt{n•（n+1）}$，求證：$\frac{n（n+1）}{2}$＜a_n＜$\frac{（n+1）^{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由不等式k＜$\sqrt{k（k+1）}$＜$\frac{k+（k+1）}{2}$=$\frac{2k+1}{2}$對所有正整數(shù)k成立，把它對k從1到n（n≥1）求和，即可證明結(jié)論．

解答 證：由不等式k＜$\sqrt{k（k+1）}$＜$\frac{k+（k+1）}{2}$=$\frac{2k+1}{2}$對所有正整數(shù)k成立，把它對k從1到n（n≥1）求和，
得到1+2+3+…+n＜a_n＜$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{2}$+…+$\frac{2n+1}{2}$，
∴$\frac{n（n+1）}{2}$＜a_n＜$\frac{（n+1）^{2}}{2}$．

點評 本題考查不等式的證明，考查放縮法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．正確放縮是關鍵．