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求證關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1的充要條件是a＋b＋c＝0．

答案：
解析：

　　證明：必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1，∴x＝1滿足方程ax2＋bx＋c＝0．∴a＋b＋c＝0．

　　充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b．代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，

　　∴x－1＝0或ax＋a＋b＝0．∴x＝1．

　　故ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1．


提示：

本題主要考查了充要條件的定義．首先要分清條件與結(jié)論，條件是“a＋b＋c＝0”，結(jié)論是“方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1”．充分性是證明“條件”“結(jié)論”，必要性是證明“結(jié)論”“條件”．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a、b∈R，關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的實(shí)根為α、β．若|a|+|b|＜1，求證：|α|＜1，|β|＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的方程x2-ax+a-2=0
（1） 求證：方程有兩個(gè)不相等實(shí)根．
（2）若方程的一個(gè)根在(-1，-
1
2
)上，另一個(gè)根在(-
1
2
，2)上．求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1（x＞0）
（1）若對(duì)任意的x∈[1，+∞），f（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．
（2）若a=
5
2
且關(guān)于x的方程f（x）=-
1
2
x2+b在[1，4]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=lnan+an+2，n∈N*．求證：an≤2n-1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•瀘州二模）設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)=
1
x2+a
．
（1）求證：關(guān)于x的方程f(x)=
1
x-1
沒有實(shí)數(shù)根；
（2）求函數(shù)g(x)=
1
3
ax3+ax+
1
f(x)
的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)數(shù)列{xn}滿足x1=0，xn+1=f(xn)(n∈N*)，當(dāng)a=2且0＜xk≤
1
2
(k=2，3，4，…)，證明：對(duì)任意m∈N*都有|xm+k-xk|＜
1
3•4k-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•瀘州二模）已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c和函數(shù)g（x）=ln（1+x2）+ax（a＜0）．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知關(guān)于x的方程f（x）=x沒有實(shí)數(shù)根，求證方程f（f（x））=x也沒有實(shí)數(shù)根；
（Ⅲ）證明：(1+
1
22
)(1+
1
42
)(1+
1
82
)…(1+
1
22n
)＜e(n∈N*)．

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