Question

【題目】如圖，已知， ，且是的中點(diǎn)，.

（1）求證：；

（2）求證：平面平面；

（3）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）。

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，可以利用中位線定理，根據(jù)已知的平行關(guān)系和長(zhǎng)度關(guān)系，可以得到一個(gè)平行四邊形，利用平行四邊形的對(duì)邊平行，這樣得到線線平行，也就能證明出線面平行；

（2）通過已知和（1）可知，通過線面垂直和平行線的性質(zhì)，可以這樣可以證明出線面垂直，而從而證明出平面利用面面垂直的判定定理可以證明出平面平面；

（3）通過（2）證明出的線面垂直關(guān)系，找到線面角，利用勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)，求出相關(guān)的邊，利用正弦的定義，求出與平面所成角的正弦值。

（1）如上圖，取的中點(diǎn)，連接,

由是的中點(diǎn)，且又，且

且. 是平行四邊形，從而，

又平面，平面, 因此；

（2）證明：是的中點(diǎn)，，

因?yàn)?/span>平面，，所以平面，

又平面 而 平面

由可知平面 平面，平面平面；

（3）由（2）知平面 是在平面的射影，則與平面所成的角為，因?yàn)?/span>，所以,由（1）可知：

是平行四邊形，從而，

在中，

與平面所成角的正弦值是。