Question

已知函數f（x）=2cosx（sinx-cosx），x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）圖象的對稱中心；
（Ⅱ）求函數f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用輔助角公式將y=2cosx（sinx+cosx）化為一個角的一個三角函數的形式，然后求得其對稱中心坐標．（Ⅱ）利用x的范圍，求出相位的范圍，將式子Asin（wx+∅）中的wx+∅看成整體，結合正弦函數的圖象求Asin（wx+∅）最大最小值．

解答：（本小題滿分12分）
解：（I）函數f（x）=2cosx（sinx-cosx）=sin2x-cos2x-1=

2

sin（2x-

π

4

）-1，
因此，函數f（x）圖象的對稱中心為（

kπ

2

+

π

8

，-1），k∈Z．
（Ⅱ）因為f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）在區(qū)間[

π

8

，

3π

8

]上為增函數，在區(qū)間[

3π

8

，

3π

4

]上為減函數，
又f（x）=-1，f（

3π

8

）=

2

-1，
f（

3π

4

）=

2

sin（

3π

2

-

π

4

）-1=-2
故函數f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最大值為

2

-1，最小值為-2．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數與余弦函數，著重考查輔助角公式的應用及正弦函數的對稱中心，求解函數的最值，屬于中檔題．