Question

15．已知集合M={1，2，3，…，n，n+1}（n≥2，n∈N），M₁，M₂，M₃，…，M_S（k）是M的k+1元子集（k∈N，k≤n）
（1）若n=9，k=1，且滿足M_i（i∈{1，2，…，S（k）}中各元素之和是3的倍數(shù)，求S（k）的值；
（2）若滿足M（i∈{1，2，…，S（k）}中必含有元素3，
①求S（k）的表達式；
②設b_k=（-1）^k+1$\frac{k+1}{n-k}$S（k+1），T_m=b₀+b₁+b₂+…+b_m（m∈N^*，m≤n-1），求|$\frac{{T}_{m}}{{C}_{n-1}^{m}}$|的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用列舉法寫出集合M的所有2元子集求得S（k）的值；
（2）①S（k）是從除3外的n個元素中任取k個元素的組合數(shù)；
②由組合數(shù)的階乘公式可得b_k=（-1）^k+1•${C}_{n}^{k}$，再由組合數(shù)的性質(zhì)，可得當1≤k≤n-1時，b_k=（-1）^k+1•${C}_{n}^{k}$=（-1）^k+1•（${C}_{n-1}^{k}+{C}_{n-1}^{k-1}$）
=（-1）^k+1•${C}_{n-1}^{k}$+（-1）^k+1•${C}_{n-1}^{k-1}$=（-1）^k-1•${C}_{n-1}^{k-1}$-（-1）^k•${C}_{n-1}^{k}$，討論m=0和1≤m≤n-1時，計算化簡即可得到所求值．

解答 解：（1）n=9，k=1時，M={1，2，3，…，10}，
滿足條件的2元子集為{1，2}，{1，5}，{1，8}，{2，4}，{2，8}，{2，10}，{3，6}，{3，9}，{4，5}，{4，8}，{5，7}，{5，10}，{6，9}，{7，8}，{8，10}共15個，故S（k）=15；
（2）①M_i（i∈{1，2，…，S（k）}中比含有元素3，
當k=0時，S（k）=1；
當k=1時，S（k）=n；
當k=2時，S（k）=${C}_{n}^{2}$；
…
當k=n時，S（k）=${C}_{n}^{n}$．
∴S（k）=${C}_{n}^{k}$；
②b_k=（-1）^k+1$\frac{k+1}{n-k}$S（k+1）=$（-1）^{k+1}\frac{k+1}{n-k}•{C}_{n}^{k+1}$
=$（-1）^{k+1}\frac{k+1}{n-k}•\frac{n!}{（k+1）!•（n-k-1）!}$=$（-1）^{k+1}\frac{n!}{k!（n-k）!}$=$（-1）^{k+1}{C}_{n}^{k}$，
∴當1≤k≤n-1時，b_k=（-1）^k+1•${C}_{n}^{k}$=（-1）^k+1•（${C}_{n-1}^{k}+{C}_{n-1}^{k-1}$）
=（-1）^k+1•${C}_{n-1}^{k}$+（-1）^k+1•${C}_{n-1}^{k-1}$=（-1）^k-1•${C}_{n-1}^{k-1}$-（-1）^k•${C}_{n-1}^{k}$，
當m=0時，|$\frac{{T}_{m}}{{C}_{n-1}^{m}}$|=|$\frac{_{0}}{{C}_{n-1}^{0}}$|=1；
當1≤m≤n-1時，T_m=b₀+b₁+b₂+…+b_m=-1+$\sum_{k=1}^{m}$[（-1）^k-1•${C}_{n-1}^{k-1}$-（-1）^k•${C}_{n-1}^{k}$]
=-1+1-（-1）^m ${C}_{n-1}^{m}$=-（-1）^m ${C}_{n-1}^{m}$，
即有|$\frac{{T}_{m}}{{C}_{n-1}^{m}}$|═1．
綜上可得，|$\frac{{T}_{m}}{{C}_{n-1}^{m}}$|=1．

點評 本題考查數(shù)列求和，考查了二項式定理和性質(zhì)的運用，考查組合數(shù)公式和性質(zhì)的運用，訓練了運算能力，屬于中檔題．