Question

已知雙曲線的中心在原點，焦點F₁，F₂在坐標軸上，離心率為，且過點(4，－)．

(1)求雙曲線方程；

(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：·＝0；

(3)求△F₁MF₂的面積．

Answer 1

[分析]　由離心率為可看出它是等軸雙曲線；從此隱含條件入手，可使運算變得簡單．

[解析]　(1)∵e＝，∴可設(shè)雙曲線方程為x²－y²＝λ(λ≠0)．

∵過(4，－)點，∴16－10＝λ，即λ＝6，

∴雙曲線方程為x²－y²＝6.

(2)證法1：由(1)可知，雙曲線中a＝b＝，

∴c＝2，∴F₁(－2，0)，F₂(2，0)，

∵點(3，m)在雙曲線上，∴9－m²＝6，m²＝3.

故kMF₁·kMF₂＝－1，∴⊥.∴·＝0.

證法2：∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)，

∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m²＝－3＋m²，

∵M點在雙曲線上，∴9－m²＝6，即m²－3＝0，

∴·＝0.

(3)△F₁MF₂的底|F₁F₂|＝4，

△F₁MF₂的高h＝|m|＝，∴S△F₁MF₂＝6.

[點評]　雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)中涉及很多基本量，如“a，b，c，e”等，樹立基本量思想對于確定雙曲線方程和認識其幾何性質(zhì)有很大幫助．