Question

已知數(shù)列{a_n}中，an=

2n-1(n為奇數(shù)) 3n(n為偶數(shù))

，試求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和S_n．

Answer 1

分析：首先對(duì)n進(jìn)行奇偶數(shù)討論，（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，其中有

n-1

2

項(xiàng)為偶數(shù)項(xiàng)，

n+1

2

項(xiàng)為奇數(shù)項(xiàng)，則知偶數(shù)項(xiàng)是以b₁=9為首項(xiàng)，q=3²=9 的等比數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是以c₁=2×1-1=1 為首項(xiàng)，d=2×2=4 為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式即可求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和S_n，（2）當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，其中有

n

2

項(xiàng)為偶數(shù)項(xiàng)，

n

2

為奇數(shù)項(xiàng)，直接根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列求和公式求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和S_n．

解答：解：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，其中有

n-1

2

項(xiàng)為偶數(shù)項(xiàng)，

n+1

2

項(xiàng)為奇數(shù)項(xiàng)，（1分）
偶數(shù)項(xiàng)是以b₁=9為首項(xiàng)，q=3²=9 的等比數(shù)列，
故偶數(shù)項(xiàng)的和Sn =

9(  1-9 n-1 2 )

1-9

=

9

8

(3n-1-1)                     （5分）
奇數(shù)項(xiàng)是以c₁=2×1-1=1 為首項(xiàng)，d=2×2=4 為公差的等差數(shù)列，
故奇數(shù)項(xiàng)的和sn=

n+1

2

+

n+1 2 ( n+1 2 -1)

2

×4=

(n+1)2

2

-

n+1

2

，（7分）
則{a_n}的前n項(xiàng)之和Sn = 

(n+1)2

2

-

n+1

2

+

9

8

(3n-1-1)（n為奇數(shù)）         （8分）
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，其中有

n

2

項(xiàng)為偶數(shù)項(xiàng)，

n

2

為奇數(shù)項(xiàng)，（9分）
故偶數(shù)項(xiàng)的和Sn =

9(  1-9 n 2 )

1-9

=

9

8

(3n-1)，（11分）
奇數(shù)項(xiàng)的和sn=

n

2

+

n 2 ( n 2 -1)

2

×4=

n2

2

-

n

2

，（12分）
則{a_n}的前n項(xiàng)之和Sn =

9

8

(3n-1) +

n2

2

-

n

2

（n為偶數(shù)）．                  （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的求和的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是對(duì)n進(jìn)行奇偶數(shù)分類討論，還要熟練掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，本題難度一般．