Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²+n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時，則a_n=S_n-S_n-1=2n，當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2，成立，即可求得求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，利用“錯位相減法”即可求得T_n．

解答 解：（1）由S_n=n²+n，
當(dāng)n≥2時，則S_n-1=（n-1）²+（n-1），
則a_n=S_n-S_n-1=2n，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2，成立，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n；
（2）由$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n項和為T_n，T_n=$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
則$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n-1}}×\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
=$\frac{{2}^{n+1}-n-2}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{{2}^{n+1}-n-2}{{2}^{n-1}}$，
數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n項和為T_n，T_n=$\frac{{2}^{n+1}-n-2}{{2}^{n-1}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查“錯位相減法”求數(shù)列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．