Question

5．設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+2a的導函數(shù)為f′（x），對任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，則$\frac{b^2}{a^2}$的最大值為4．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)，代入f（x）≥f′（x），轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立問題，由判別式小于等于0求得$\frac{b^2}{a^2}$的最大值．

解答 解：由f（x）=ax²+bx+2a，得f′（x）=2ax+b，
令g（x）=f（x）-f′（x）=ax²+bx+2a-2ax-b=ax²-（2a-b）x+2a-b，
對任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，等價于g（x）≥0對任意x∈R恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（2a-b）^{2}-4a（2a-b）≤0}\end{array}\right.$，
即4a²≥b²，∴$\frac{b^2}{a^2}$≤4．
故$\frac{b^2}{a^2}$的最大值為4．
故答案為：4．

點評 本題考查了恒成立問題，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，涉及二次函數(shù)恒成立問題，常由二次項系數(shù)結(jié)合判別式解決，是中檔題．