Question

16．如圖，底面為平行四邊形的四棱柱ABCD-A'B'C'D'中，DD'⊥平面ABCD，∠DAB=$\frac{π}{3}$，AB=2AD，DD'=3AD，E、F分別是線段AB、D'E的中點．
（Ⅰ）求證：CE⊥DF；
（Ⅱ）求二面角A-EF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明CE⊥平面D'DE，即可證明：CE⊥DF；
（Ⅱ）依題意平面AED⊥平面D'DE，過A作AM⊥DE于M，則M為DE的中點，且AM⊥平面D'DE，在平面D'DE中過M作MN⊥D'E于N，連接AN，則AN⊥D'E，所以∠ANM為二面角A-EF-D的一個平面角，所以二面角A-EF-C的大小為$∠ANM+\frac{π}{2}$，即可求二面角A-EF-C的余弦值．

解答 （I）證明：∵AD=AE，$∠DAB=\frac{π}{3}$，
∴△DAE是等邊三角形，$∠BEC=\frac{π}{6}$，∴$∠DEC=\frac{π}{2}$，即CE⊥DE，
∵DD'⊥平面ABCD，
∴CE⊥D'D，∴CE⊥平面D'DE，
∵DF?平面D'DE，
∴CE⊥DF…（6分）
（II）解：由（I）知CE⊥平面D'DE，所以平面CEF⊥平面D'DE，
依題意平面AED⊥平面D'DE，過A作AM⊥DE于M，則M為DE的中點，且AM⊥平面D'DE，
在平面D'DE中過M作MN⊥D'E于N，連接AN，則AN⊥D'E，
所以∠ANM為二面角A-EF-D的一個平面角，所以二面角A-EF-C的大小為$∠ANM+\frac{π}{2}$，
設AD=2，則$AM=\sqrt{3}$，$MN=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，所以$AN=\frac{{\sqrt{390}}}{10}$$cos（∠ANM+\frac{π}{2}）=-sin∠ANM=-\frac{AM}{AN}=-\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{390}}}{10}}}=-\frac{{\sqrt{130}}}{13}$，
故二面角A-EF-C的余弦值$-\frac{{\sqrt{130}}}{13}$…（12分）

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查二面角A-EF-C的余弦值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．