Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，．S_n+a_n=-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+1（n∈N^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若c_n=${（\frac{1}{2}）^n}$-a_n，p=$\sum_{i=1}^{2013}{\frac{{c_i^2+{c_i}+1}}{{c_i^2+{c_i}}}}$，求不超過(guò)P的最大的整數(shù)值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)S_n+a_n=-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+1與a_n-1+S_n-1=-$\frac{1}{2}$（n-1）²-$\frac{3}{2}$（n-1）+1（n≥2）作差、整理可知數(shù)列{a_n+n}是首項(xiàng)、公比均為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過(guò)（1）知$a{\;}_n={（{\frac{1}{2}}）^n}-n$，進(jìn)而裂項(xiàng)、并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)镾_n+a_n=-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+1，
所以①當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=-1，則a₁=-$\frac{1}{2}$，
②當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1+S_n-1=-$\frac{1}{2}$（n-1）²-$\frac{3}{2}$（n-1）+1，
所以2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a_n-1+n-1，
記b_n=a_n+n，則b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1（n≥2），
而b₁=a₁+1=$\frac{1}{2}$，
所以數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)、公比均為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
所以${b_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}$，
所以$a{\;}_n={（{\frac{1}{2}}）^n}-n$；
（Ⅱ）由（1）知$a{\;}_n={（{\frac{1}{2}}）^n}-n$，
∴c_n=n，
∴$\frac{{{c_n}^2+{c_n}+1}}{{{c_n}^2+{c_n}}}=1+\frac{1}{{{c_n}^2+{c_n}}}=1+\frac{1}{n（n+1）}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
所以$P=\sum_{i=1}^{2013}{\frac{{{c_i}^2+{c_i}+1}}{{{c_i}^2+{c_i}}}}$=$（1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（1+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}）=2014-\frac{1}{2014}$，
故不超過(guò)P的最大整數(shù)為2013．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．