Question

對某校高三學(xué)生一個(gè)月內(nèi)參加體育活動(dòng)的次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加體育活動(dòng)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)做出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下：

分組	頻數(shù)	頻率
[10，15）	10	0.25
[15，20）	24	n
[20，25）	m	p
[25，30]	2	0.05
合計(jì)	M	1

（Ⅰ）求出表中M，p及圖中a的值；
（Ⅱ）若該校高三學(xué)生有240人，試估計(jì)該校高三學(xué)生在一個(gè)月內(nèi)參加體育活動(dòng)的次數(shù)在區(qū)間[10，15）內(nèi)的人數(shù)；
（Ⅲ）在所取的樣本中，從參加體育活動(dòng)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任取4人，記此4人中參加體育活動(dòng)不少于25次的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由分組[10，15）內(nèi)的頻數(shù)是10，頻率是0.25，可求M，頻數(shù)之和為40，可求m，從而求出p，利用a是對應(yīng)分組[15，20）的頻率與組距的商，求出a的值；
（Ⅱ）利用該校高三學(xué)生有240人，分組[10，15）內(nèi)的頻率是0.25，可估計(jì)該校高三學(xué)生在一個(gè)月內(nèi)參加體育活動(dòng)的次數(shù)在區(qū)間[10，15）內(nèi)的人數(shù)；
（Ⅲ）根據(jù)題意ξ可能取值為0，1，2，求出相應(yīng)的概率，可得隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（I）由分組[10，15）內(nèi)的頻數(shù)是10，頻率是0.25，
∴

10

M

=0.25，∴M=40．…（1分）
∵頻數(shù)之和為40，∴10+24+m+2=40，∴m=4，…（2分）
∴p=0.4，…（3分）
∵a是對應(yīng)分組[15，20）的頻率與組距的商，∴a=

24

40×5

=0.12．…（4分）
（II）∵該校高三學(xué)生有240人，分組[10，15）內(nèi)的頻率是0.25，
∴估計(jì)該校高三學(xué)生在一個(gè)月內(nèi)參加體育活動(dòng)的次數(shù)在此區(qū)間的人數(shù)為240×0.25=60．…（6分）
（III）根據(jù)題意ξ可能取值為0，1，2．…（7分）
P(ξ=0)=

C 4 4

C 4 6

=

1

15

，P(ξ=1)=

C 3 4 C 1 2

C 4 6

=

8

15

，P(ξ=2)=

C 2 4 C 2 2

C 4 6

=

6

15

=

2

5

，
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	1 15	8 15	2 5

…（10分）
∴Eξ=0×

1

15

+1×

8

15

+2×

6

15

=

4

3

．…（12分）

點(diǎn)評：本題以頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖為載體，考查隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．