Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心為O，左焦點(diǎn)為F，A是橢圓上的一點(diǎn)，

OA

•

AF

=0且

OA

•

OF

=

1

2

(

OF

)2，則該橢圓的離心率是（　�。�

• A．

  10 - 2

  2

• B．

  10 + 2

  2

• C．3-

  5

• D．3+

  5

Answer 1

分析：通過(guò)向量的數(shù)量積判斷三角形是等腰直角三角形，求出A的坐標(biāo)，代入橢圓方程然后求出橢圓的離心率．

解答：解：因?yàn)橐阎獧E圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心為O，左焦點(diǎn)為F，A是橢圓上的一點(diǎn)，
因?yàn)?span id="w43qzvy" class="MathJye">

OA

•

OF

=

1

2

(

OF

)2，所以

OA

•

OF

=|

OA

|•|

OF

|cos∠AOF=

1

2

|

OF

|2，又

OA

•

AF

=0，
所以cos∠AOF=

| OA |

| OF |

，所以cos∠AOF=

2

2

，所以三角形AOF是等腰直角三角形，
A（-

1

2

c，

1

2

c），代入橢圓方程可得：

c2

a2

+

c2

b2

=4，又b²=a²-c²，
可得：e⁴-6e²+4=0
解得e=

10 - 2

2

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．