Question

如圖，已知點F是拋物線x²=4y的焦點，直線l為準線，點A是拋物線上一點．以F點為圓心，|AF|為半徑作圓M交拋物線的準線l于點B．若A，B，F(xiàn)三點共線，則|AC|=（　�。�

• A、

  16

  3

• B、16
• C、

  8

  3

• D、8

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意A、B、F三點在同一條直線上，由直徑所對的圓周角為直角，可得∠ADB=90°．利用拋物線的定義可得到∠ABD=30°．即可得到直線的斜率，得到直線的方程，代入拋物線方程，利用弦長公式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：以F點為圓心，|AF|為半徑作圓M交拋物線的準線l于點B，D，則
由題意A、B、F三點在同一條直線m上，
∴∠ADB=90°．
∴∠ABD=30°．
∴直線AB的斜率為

3

3

．
∴直線AB的方程為y=

3

3

x+1．
代入x²=4y，可得x²-

4 3

3

x-4=0，
∴|AC|=

1+ 1 3

•

( 4 3 3 )2+16

=

16

3

，
故選：A．

點評：本題考查了拋物線的定義標準方程及其性質(zhì)、圓的性質(zhì)、含30°的直角三角形的性質(zhì)、直線的方程等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題．