Question

設函數，
（1）用定義證明：函數f（x）是R上的增函數；
（2）證明：對任意的實數t，都有f（t）+f（1-t）=1；
（3）求值：…．

Answer 1

解：（1）證明：設任意x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）==，
∵x₁＜x₂，
∴，∴，
又．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），…（4分）
∴f（x）在R上是增函數 …（6分）
（2）對任意t，f（t）+f（1-t）====1．
∴對于任意t，f（t）+f（1-t）=1 …（10分）
（3）∵由（2）得f（t）+f（1-t）=1
∴，，
∴+=2011，
∴=…（14分）
分析：（1）直接利用用定義，通過f（x₁）-f（x₂）化簡表達式，比較出大小即可證明函數f（x）是R上的單調性；
（2）化簡f（t）+f（1-t），證明它的值是1即可；
（3）由（2），f（t）+f（1-t）=1，求出首末兩項的和為1，利用倒序相加法，求出…．
點評：本題考查函數的單調性的證明，函數值的求法，考查計算能力，值域倒序相加法的應用．